SECCIONES CÒNICAS

LA CIRCUNFERENCIA

Existen diferentes formas de construir la ecuación de la circunferencia y depende de los datos que nos dan.

ECUACIÒN ORDINARIA O REDUCIDA DE LA CIRCUNFERENCIA ES

(x-h)²+ (y-h)²= r²A)

CASO 1 )

Encuentra la ecuación de una circunferencia que tiene el centro en el origen y radio de 5

Ejemplo:

(x-0)² + (y-0)²= r²

x² + 0 + 0 + y² + 0 + 0 = 5²

x² + y² = 25

B) CASO 2

Ejemplo:

Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-4,3) y radio 5

Formula de ecuación reducida

(x-h)²+ (y-k)²= r²

(x-- 4) ²+ (y - 3) ²= 5²

x²+ 8x + 16 + y²- 6y + 9 = 25

x2+ y² + 8x – 6y + 25– 25 = 0

x² + y² + 8x – 6y = 0

C) CASO 3

Ejemplo:

Desarrolla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (3, -2) cuyo centro (7, 5)

1) Sacar la distancia.

2) Formar la ecuación reducida “tomando el centro”

(x - x ) ² + (y - y ) ² = d

(3 – 7) ² + (-2 - 5) ² = d

(-4) ² + (-7) ² = d

16 + 49 = d

65=d=r

EJEMPLO:

(x-h)²+ (y-k)²= r²

(x-7) ²+ (y -5) ²=65

X²- 14x + 49 + y²- 10y + 25 = 65

X² + y² - 14x + 10y + 49 + 25 - 65 = 0

X² + y² - 14x + 10y + 74 - 65 = 0

X² + y²- 14x + 10y + 9 = 0

C) CASO 4

Encontrar la ecuación de la circunferencia si los extremos de sus diámetros son los puntos P(6,2), Q(-2,-4)

X1+x2/2= Y1+Y2/2=

6+(-2)/2 2+(-4)/2=

4/2=2=PMx -2/2=-1=PMy

D=( X2- X1 ) ²+( Y2 - Y1 ) ²

D=(6-2) ²+(2—1) ²

D=4²+3²

D=16+9

D=25

r²=( X - h) ²+ ( Y – k ) ²

25 = ( X - 2) ²+( Y — 1 ) ²

25 = x² -4x + 4 + y² + 2y + 1

25 = x² + y² - 4x + 2y + 4 + 1

0 = x² + y² - 4x + 2y + 5 - 25

0 = x² + y² - 4x + 2y - 20

PASOS:

1) Sacar el punto medio.

2) Calcularla distancia

3) resolver la ecuación reducida

4) Ordenar la ecuación por términos semejantes

C) CASO 5

Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(10, -5) y que es tangente a la recta 4x+3y-50=0

D= lAx +By + Cl/ A²+B²

D=l4(10)+3(-5)-50/ 4²+3²

D=40-15-50/ 16+9

D=25/ 25 =25/5=5

(X - h) ²+ ( Y – k ) ²= r²

(X-10) ² + (Y+5) ² =5 ²

X² - 20X + 100 + y² + 10y + 25 = 25

x² + y² - 20x + 10y + 100 + 25 - 25 = 0

x² + y² - 20x + 10y + 100 = 0