La parábola : es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano, cuya distancia en un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz.
ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN Y FOCO EN f (a,0)
Para hallar esta ecuacion en un sistema de coordenadas coloquemos su eje focal sobre el eje x, el vertice V en el origen y el foco en el punto f(a,0), por lo tanto, la ecuacion de su directriz es;
x= -a ó x + a =0
√(x-a)2 + (y - 0)2 = x+a
Al simplificar esta ecuacion resulta:
x2-2ax+a2+y2+2ax+a2
Despejamos a continuacion y2:
y2=2ax+2ax
y2=4ax
EJERCICIO:
Dada la ecuacion de la parabola y2=12x, encontrar:
a)La coordenada del foco .
b) La longitud del lado recto
c) La ecuacion de la directriz
d)Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
SOLUCION.
a) La ecuacion es de la forma y2=4ax, luego;
4a=12
a=12/4
a=3
De acuerdo con lo anterior, las coordenadas del foco son f (3,0)
b)Longitud del lado recto
LR= | 4a |
LR=|4(3) | =|12|
LR= 12
c)Ecuacion de la directriz
x= -a
x= -3 o tambien
x + 3 =0
d) Coordenadas de los ptos extremos del lado recto. El valor de las absisas en los puntos extremos del lado rectoes el correspondiente a la absisa del foco; luego x=3 , por consiguiente:
y2=4ax
y2=4(3)(3)
y2= |√
y= |6|
Es decir las coordenadas de los puntos extremos de lado recto son (3,6) y (3, -6).
ECUACION DE UNA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN, F(-a,0)
Si a es menor que cero, entonces la x solo puede tomar valores negativos, es decir su dominio es (-∞, 0) , mientras que el rango de la variable y es el conjunto de los numeros reales (Re), por lo que debido a esas condiciones la grafica de la ecuacion resulta una curva abierta que se extiende infinitamente hacia la izquierda, arriba y abajo.
EJERCICIO
Dada la ecuacion de la parabola y2=-8x , determina
a)Las coordenadas del foco
b)La ecuacion de la directriz
c)La longitud del lado recto
d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto
SOLUCION
a)Coordenadas del foco
4a=-8
a=-8/4 = -2
b)Ecuacion de la directriz
x= -a
x=-(-2)
x=2 o tambien x-2=0
c)Longitud del lado recto
LR=|4a|
LR=|4(-2)|
LR=|-8| = 8
d)Coordenadas de los puntos extremos del lado recto. En los puntos extremos de dicho segmento x=-2; luego, sustituyendo este valor en la ecuacion resulta:
y2=-8(-2)
y=|4|
ECUACION DE UNA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN, EJE FOCAL SOBRE Y y FOCO EN F(0,4)
Dada la ecuacion de la parabola x2=16y, encontrar:
a)Las coordenadas del foco
b) La longuitud del lado recto
c) Las cooredenadas de los puntos extremos del lado recto
d) La ecuacion de la directriz
SOLUCION.
a) Coordenadas del foco. Como la ecuacion indicada es de la forma x2=4ax, en donde 4a=16, es decir, a=4, entonces es una grafica que abre hacia arriba con foco en el punto f(0,4)
b) Longuitud del lado recto
LR= |4a|
LR= 4|4|
LR= 16
c)Coordenadas de los puntos extremos del lado recto.Hacemos y=4; luego:
x2=4(4)(4)
x2=64
x=√64
x=|8|
Por consiguiente, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son:(4,8) y (4,-8)
d)La ecuacion de la directriz
y=-4
y+4=0
